Synthèse de contrôle garanti pour des systèmes dynamiques spatio-temporels à commutation
Dans le présent travail de thèse, nous souhaitons approfondir l'étude des systèmes dynamiques à commande par commutation au moyen de méthodes dites « correct-by-design ».
Nous nous intéressons plus particulièrement à la synthèse de contrôleurs pour de tels systèmes, et souhaitons étendre le champ d'application des algorithmes existants, notamment pour des problèmes décrits par des équations aux dérivées partielles.
En effet, les algorithmes existants reposent essentiellement sur une décomposition ou discrétisation de l'espace des états, associée à des méthodes de calcul ensembliste permettant de calculer les ensembles atteignables, et leur complexité est exponentielle en la dimension de l'espace des états, ce qui limite fortement la complexité des systèmes étudiés.
Une première étape est l'amélioration du calcul des ensembles atteignables, en l'étendant aux systèmes non-linéaires grâce à des schémas numériques garantis. Nous proposons également une approche extrêmement rapide basée sur le schéma d'Euler associé à une hypothèse proche de la stabilité incrémentale.
D'autre part, afin d'augmenter la dimension des systèmes que nous étudions, nous proposons des versions distribuées (compositionnelles) des algorithmes de synthèse, permettant de casser la complexité exponentielle en synthétisant des contrôleurs sur des sous-parties du système, mais impliquant des contraintes supplémentaires pouvant être gérées par des approches du type hypothèse / garantie.
Enfin, pour l'application aux problèmes aux dérivées partielles, dont les versions discrétisées sont toujours inatteignables pour de tels algorithmes, nous proposons des approches utilisant des méthodes de réduction de modèle, permettant de diminuer la complexité du système étudié en l'approchant par un système de faible dimension, mais nécessitant la prise en compte des différentes sources d'erreur.
Si les premières applications des méthodes « correct-by-design » ont permis de synthétiser des contrôleurs robustes pour des systèmes tels que des convertisseurs de puissance modélisés par des systèmes à commande par commutation de dimension 2, nous avons appliqué nos méthodes sur des cas tests tels que le chauffage d'une maison de onze pièces (cas test concret proposé par l'entreprise danoise Seluxit), le contrôle au bord de l'équation de la chaleur, ou encore le contrôle de vibration sur des pièces métalliques.